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 解：（1）把$A(1,-2)，$$B(0,-5)$代入$y = x^{2}+bx + c，$得$\begin{cases}1 + b + c = -2\\c = -5\end{cases}，$

 将$c = -5$代入$1 + b + c = -2，$得$1 + b - 5 = -2，$

 $b - 4 = -2，$解得$b = 2。$

 所以二次函数的解析式为$y = x^{2}+2x - 5。$

 因为$y = x^{2}+2x - 5=(x + 1)^{2}-6，$所以图象的顶点坐标为$(-1,-6)。$

 （2）因为二次函数$y = x^{2}+2x - 5$的对称轴为直线$x = -1，$点$A(1,-2)$关于对称轴直线$x = -1$的对称点为$C(-3,-2)，$

 所以当$y\leq -2$时，$x$的取值范围是$-3\leq x\leq 1。$

 解：（1）抛物线$C_1:y = x^{2}+2x + 3=(x + 1)^{2}+2，$

 先向右平移$4$个单位长度，再向下平移$5$个单位长度，

 根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，

 则抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=(x + 1 - 4)^{2}+2 - 5=(x - 3)^{2}-3。$

 （2）动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上。

 理由：由（1），知抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=(x - 3)^{2}-3，$

 因为$(x - 3)^{2}\geq0，$所以$y=(x - 3)^{2}-3\geq - 3，$函数的最小值为$-3。$

 因为$-6 ＜ -3，$所以动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上。

 （3）$y_1＞y_2。$

 理由：因为抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=(x - 3)^{2}-3，$所以抛物线的开口向上，对称轴为直线$x = 3。$

 所以当$x ＜ 3$时，$y$随$x$的增大而减小。

 因为点$A(m,y_1)，$$B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m ＜ n ＜ 0 ＜ 3，$所以$y_1＞y_2。$

 解：（1）由抛物线对应的函数解析式$y = ax^{2}+bx - 5$知，当$x = 0$时，$y = -5，$则$OB = 5。$

 因为$5OA = OB = OC，$所以$OA = 1，$$OC = 5。$

 所以点$A，$$C，$$B$的坐标分别为$(1,0)，$$(-5,0)，$$(0,-5)。$

 设抛物线对应的函数解析式为$y = a(x - 1)(x + 5)=a(x^{2}+4x - 5)=ax^{2}+bx - 5，$

 把$(0,-5)$代入$y = a(x - 1)(x + 5)$得$-5a = -5，$解得$a = 1。$

 所以抛物线对应的函数解析式为$y = x^{2}+4x - 5。$

 （2）因为抛物线$y = x^{2}+4x - 5=(x + 2)^{2}-9，$所以对称轴为直线$x = -2。$

 点$A(1,0)$关于抛物线的对称轴直线$x = -2$对称的点为$C(-5,0)，$则$BC$交抛物线的对称轴于点$M，$此时$\triangle ABM$的周长最小。

 设直线$BC$的解析式为$y = kx + d，$把$B(0,-5)，$$C(-5,0)$代入得$\begin{cases}d = -5\\-5k + d = 0\end{cases}，$

 将$d = -5$代入$-5k + d = 0$得$-5k - 5 = 0，$$-5k = 5，$解得$k = -1。$

 所以直线$BC$对应的函数解析式为$y = -x - 5。$

 当$x = -2$时，$y = -(-2)-5=-3，$所以点$M$的坐标为$(-2,-3)。$

 （3）设$P(x,-x - 5)，$因为$PQ$平行$y$轴交抛物线于点$Q，$所以$Q(x,x^{2}+4x - 5)。$

 则$PQ = (-x - 5)-(x^{2}+4x - 5)=-x - 5 - x^{2}-4x + 5=-x^{2}-5x。$

 因为$PQ// OB，$当$PQ = OB$时，四边形$OBQP$为平行四边形，即$-x^{2}-5x = 5，$

 整理得$x^{2}+5x + 5 = 0，$根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（其中$a = 1，$$b = 5，$$c = 5$），

 $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\times1\times5}}{2\times1}=\frac{-5\pm\sqrt{25 - 20}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}。$

 当$x=\frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$时，$-x - 5=-\frac{-5 + \sqrt{5}}{2}-5=\frac{5 - \sqrt{5}}{2}-5=\frac{5 - \sqrt{5}-10}{2}=\frac{-5 - \sqrt{5}}{2}；$

 当$x=\frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$时，$-x - 5=-\frac{-5 - \sqrt{5}}{2}-5=\frac{5 + \sqrt{5}}{2}-5=\frac{5 + \sqrt{5}-10}{2}=\frac{-5 + \sqrt{5}}{2}。$

 所以点$P$的坐标为$(\frac{-5 + \sqrt{5}}{2},\frac{-5 - \sqrt{5}}{2})$或$(\frac{-5 - \sqrt{5}}{2},\frac{-5 + \sqrt{5}}{2})。$