第49页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

A

0或$\pm2$

2025

$x = -\frac{1}{2}$

 解：（1）②当$y_1 = m$时，将$A(-1,m)$代入$y = ax^2 - 2mx + m，$得$a + 2m + m = m，$即$a = - 2m。$

 因为$a\neq0，$所以$\Delta = (-2m)^2 - 4am = 4m^2 + 8m^2 = 12m^2＞0。$所以不论$m$为何值，该函数图象与$x$轴总有两个公共点。

 （2）因为$y_2 = 1，$所以$B(1,1)。$把$B(1,1)$代入$y = ax^2 - 2mx + m，$得$a - 2m + m = 1，$即$a = m + 1。$

 把$A(-1,y_1)$代入$y = ax^2 - 2mx + m，$得$y_1 = a + 2m + m = 4m + 1。$

 把$C(2,y_3)$代入$y = ax^2 - 2mx + m，$得$y_3 = 4a - 4m + m = m + 4。$

 因为$y_1＜y_3＜y_2，$所以$\begin{cases}4m + 1＜m + 4 \\ m + 4＜1\end{cases}，$

 解$4m + 1＜m + 4，$移项得$4m - m＜4 - 1，$即$3m＜3，$解得$m＜1；$

 解$m + 4＜1，$移项得$m＜1 - 4，$即$m＜-3。$

 所以不等式组的解集为$m＜-3。$

 解：（1）因为抛物线$y = x^2 - 4$的顶点坐标为$(0,-4)，$$y = x^2 - 4$是$y = - x + p$的“伴随函数”，所以点$(0,-4)$在一次函数$y = - x + p$的图象上。

 把$(0,-4)$代入$y = - x + p，$得$p = - 4。$所以$y = - x - 4。$

 令$x = 0，$则$y = - 4；$令$y = 0，$则$-x - 4 = 0，$解得$x = - 4。$

 所以直线$y = - x - 4$与坐标轴的交点坐标分别为$(0,-4)，$$(-4,0)。$

 所以直线$y = - x + p$与两坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}\times4\times4 = 8。$

 （2）设函数$y = x^2 + 2x + n$的图象与$x$轴的两个交点的横坐标分别为$x_1,x_2，$

 由韦达定理可得$x_1 + x_2 = - 2，$$x_1x_2 = n。$

 所以$|x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}=\sqrt{4 - 4n}。$

 因为函数$y = x^2 + 2x + n$的图象与$x$轴的两个交点间的距离为$4，$所以$\sqrt{4 - 4n}=4，$

 两边平方得$4 - 4n = 16，$移项得$-4n = 16 - 4，$即$-4n = 12，$解得$n = - 3。$

 所以$y = x^2 + 2x - 3=(x + 1)^2 - 4，$顶点坐标为$(-1,-4)。$

 因为$y = x^2 + 2x + n$是$y = mx - 3(m\neq0)$的“伴随函数”，所以$-4 = - m - 3，$移项得$m = 1。$