第67页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

A

$20^{\circ}$或$40^{\circ}$

$3\sqrt{2}$

 （1）证明：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle ADC = 90^{\circ}，$$AD// BC，$$AB = CD。$

 所以$\angle DEC=\angle BCH。$

 因为$\angle ADC = 90^{\circ}，$$BH\perp CE，$所以$\angle ADC=\angle BHC = 90^{\circ}。$

 由旋转的性质，知$CE = CB。$

 在$\triangle EDC$和$\triangle CHB$中，

 $\begin{cases}\angle DEC=\angle HCB\\\angle EDC=\angle CHB\\EC = CB\end{cases}，$

 所以$\triangle EDC\cong\triangle CHB(AAS)。$

 所以$CD = BH。$所以$AB = BH。$

 （2）解：易得$AB = BH = CG。$

 在矩形$FECG$中，$\angle ECG = 90^{\circ}。$

 在$\triangle HBO$和$\triangle CGO$中，

 $\begin{cases}\angle OHB=\angle OCG = 90^{\circ}\\\angle HOB=\angle COG\\HB = CG\end{cases}，$

 所以$\triangle HBO\cong\triangle CGO(AAS)。$

 所以$OH = OC，$$OB = OG。$

 在$Rt\triangle BCH$中，$BH = AB = 5，$$BC = 13，$由勾股定理，得$CH=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12。$

 所以$OH=\dfrac{1}{2}CH = 6。$

 在$Rt\triangle OHB$中，由勾股定理，得$OB=\sqrt{5^{2}+6^{2}}=\sqrt{61}，$

 所以$BG = 2OB = 2\sqrt{61}。$

 （1）解：因为$\triangle ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转角度$\alpha$得到$\triangle DEC，$点$E$恰好在边$AC$上，

 所以$CA = CD，$$\angle DCE=\angle ACB = 30^{\circ}，$$\angle DEC=\angle ABC = 90^{\circ}。$

 所以$\angle CAD=\angle CDA=\dfrac{1}{2}\times(180^{\circ}-30^{\circ}) = 75^{\circ}。$

 所以$\angle ADE = 90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}。$

 （2）解：因为在$Rt\triangle ABC$中，$F$是边$AC$的中点，所以$AF = CF = BF=\dfrac{1}{2}AC。$

 因为$\angle ACB = 30^{\circ}，$所以$\angle A = 60^{\circ}，$$AB=\dfrac{1}{2}AC。$

 所以$CF = BF = AB。$

 因为$\triangle ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$60^{\circ}$得到$\triangle DEC，$

 所以$\angle BCE=\angle ACD = 60^{\circ}，$$\angle A=\angle CDE = 60^{\circ}，$$BC = EC，$$AB = DE。$

 所以$\triangle BEC$为等边三角形，$\angle ACD=\angle CDE，$$CF = DE = BF。$

 所以$BE = CB = EC。$

 在$\triangle CDE$和$\triangle DCF$中，

 $\begin{cases}CD = DC\\\angle CDE=\angle DCF\\DE = CF\end{cases}，$

 所以$\triangle CDE\cong\triangle DCF(SAS)。$

 所以$CE = DF。$所以$BE = DF。$

 又因为$BF = DE，$所以四边形$BEDF$是平行四边形。

 所以$BF// DE。$