解:（1）把$A(-3,0)，$$B(1,0)$代入$y = ax^{2}+bx + 3，$得$\begin{cases}9a-3b + 3 = 0\\a + b + 3 = 0\end{cases}，$
由$a + b + 3 = 0$可得$b=-a - 3，$
将$b=-a - 3$代入$9a-3b + 3 = 0$中，$9a-3(-a - 3)+3 = 0，$
$9a + 3a+9 + 3 = 0，$
$12a=-12，$解得$a=-1，$
则$b=-(-1)-3=-2，$
所以抛物线$c$对应的函数解析式为$y=-x^{2}-2x + 3。$
（2）如图，过点$D$作$DE\perp x$轴，垂足为$E。$
由（1）知，$C(0,3)。$设点$D$的坐标为$(x,y)，$则点$E$的坐标为$(x,0)。$
所以$AO = 3，$$CO = 3，$$EO=-x，$$AE = 3 + x，$$DE = y=-x^{2}-2x + 3。$
$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ADE}+S_{梯形EOC D}-S_{\triangle ACO}=\dfrac{1}{2}(3 + x)(-x^{2}-2x + 3)+\dfrac{1}{2}(3 - x^{2}-2x + 3)(-x)-\dfrac{1}{2}\times3\times3 = 3，$
整理得$x^{2}+3x + 2 = 0，$
因式分解得$(x + 1)(x + 2)=0，$
解得$x=-1$或$x=-2。$
因为点$D$在抛物线上，
当$x=-1$时，$y=-(-1)^{2}-2\times(-1)+3=4；$
当$x=-2$时，$y=-(-2)^{2}-2\times(-2)+3=3。$
所以点$D$的坐标为$(-1,4)$或$(-2,3)。$
（3）设直线$AC$对应的函数解析式为$y_{AC}=kx + n(k\neq0)。$
把$A(-3,0)，$$C(0,3)$代入，得$\begin{cases}-3k + n = 0\\n = 3\end{cases}，$
解得$\begin{cases}k = 1\\n = 3\end{cases}，$
所以直线$AC$对应的函数解析式为$y_{AC}=x + 3。$
由（1）知抛物线$c$对应的函数解析式为$y=-x^{2}-2x + 3=-(x + 1)^{2}+4。$
设平移后的抛物线$c'$对应的函数解析式为$y_{c'}=-(x + 1 - m)^{2}+4，$则平移后的抛物线$c'$的顶点坐标为$(m - 1,4)。$
因为图象$G$与直线$AC$只有一个交点，所以有以下两种情况：
①当$x=m - 1$时，$y_{c'}＞y_{AC}，$即$4＞m - 1+3，$
$4＞m + 2，$解得$m＜2；$
②抛物线$c'$与直线$AC$只有一个交点。
令$y_{c'}=y_{AC}，$即$-(x + 1 - m)^{2}+4=x + 3，$
整理得$x^{2}+(3 - 2m)x+m^{2}-2m = 0。$
$\Delta=(3 - 2m)^{2}-4(m^{2}-2m)=0，$
$9-12m + 4m^{2}-4m^{2}+8m = 0，$
$-4m=-9，$解得$m=\dfrac{9}{4}。$
综上所述，若图象$G$与直线$AC$有且只有一个交点，$m$的取值范围是$0＜m＜2$或$m=\dfrac{9}{4}。$
