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$解：(1)设y=a(x-1)²-3，$

$把(0， 1)代入得a= 4，$

$所以y= 4x²- 8x+ 1$

$(2)设y=a(x + 3)(x-5)= ax²- 2ax-15a$

$所以- 15a=-3，$

$所以a=\frac {1}{5}$

$所以y=\frac {1}{5}x²-\frac {2}{5}x-3$

$(3)两公共点分别为(1 ， 0)，(5， 0)$

$设y=a(x-3)²-2 ，$

$把(1 ， 0)代入得a =\frac {1}{2}$

$所以y=\frac {1}{2}x²- 3x+\frac {5}{2}$

解：$(1)$

$(2)$设函数表达式为$y= ax²+ bx+c$

由题意得，$\begin{cases}{-\dfrac {b}{2a}=1 }\\{a-b+c=0}\\{\dfrac {3}{2}=c} \end{cases}$

解得$a=-\frac {1}{2}，$$b=1，$$c=\frac {3}{2}$

所以此图像相应的函数表达式为$y=-\frac {1}{2}x²+x+\frac {3}{2}$

$(3)$令$y= 0，$得$0= -\frac {1}{2}x²+x+\frac {3}{2}$

解得，${x}_1=-1，$${x}_2=3$

所以点$B$坐标为$(3 ，$$ 0)$

所以$AB=4$

设点$P{坐标} $为$(t，$$-\frac {1}{2}t²+t+\frac {3}{2})$

所以$S_{△ABP}=\frac {1}{2}×4×(-\frac {1}{2}t²+t+\frac {3}{2})$

$=-t²+2t+3$

$=-(t-1)²+4$

因为点$P $在$x$轴上方

所以$-1＜t＜5$

当$t = 1$时，$ △ABP$的面积最大 ,最大值为$4$