解$：(1)$由二次函数图象的顶点为$(1，3)，$
可设二次函数解析式为$y=a{(x-1)}^2+3，$
将$x=3，$$y=-1$代入可得$-1=a×{(3-1)}^2+3$
解得$a=-1，$
所以二次函数解析式为：$y=-{(x-1)}^2+3=-{x}^2+2x+2；$
将$x=3，$$y=-1$代入一次函数解析式$y=x+m$可得:
$-1=3+m$
得到$m=-4$
所以一次函数解析式为$：y=x-4$
$(2)$联立两个解析式可得方程组:
$\{\begin{array}{l}y=-{x}^2+2x+2\\y=x-4\end{array}.$
则$x-4=-{x}^2+2x+2$
化简得：$(x-3)(x+2)=0$
$∴{x}_1=3，$${x}_2=-2$
当${x}_1=3$时，${y}_1=3-4=-1$
当${x}_2=-2$时，${y}_1=-2-4=-6$
方程组的解为$\{\begin{array}{l}{x}_1=3\\{y}_1=-1\end{array}，$$\{\begin{array}{l}{x}_2=-2\\{y}_2=-6\end{array}.$
所以另一个交点坐标为$(-2，-6)$
