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解：$(1)$设该班的学生人数为$x$

由题意可得$3x+20=4x-25$

解得$x=45$

答：该班的学生人数为$45。$

$(2)$设购买甲种树苗$y$棵，则购买乙种树苗$(3×45+20-y)$棵

由题意得$30y+40(3×45+20-y)≤5400$

解得$y≥80$

$∴y$的最小值为$80$

答：至少购买了甲树苗$80$棵。

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