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解：$(2)$设“三多”的每群狗有$m$条，“一少”的那群狗有$n$条

根据题意可得$\begin{cases}{3m+n=300}\\{m-n=40}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{m=85}\\{n=45}\end{cases}$

答：“三多”的每群狗有$85$条，“一少”的那群狗有$45$条。