解：$ (1)$由图可知，二次函数的顶点坐标为$(\frac {5}{2}，$$-\frac {9}{4})$
∴二次函数表达式为$y= (x-\frac {5}{2})²-\frac {9}{4}$
令$y=0，$$(x-\frac {5}{2})²-\frac {9}{4}=0$
解得${x}_1=4，$${x}_2=1$
∴二次函数与$x$轴的交点为$(4，$$0)、$$(1，$$0) $
$(2)$由图像可知
①当$x>4$或$x<1$时，$y>0$
②当$x= 1$或$x=4$时，$y=0$
③当$1＜x＜4$时，$y＜0$
