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$解：过点C作CD⊥AB ，垂足为点D ，如图所示$

$在Rt△BCD中$

$因为BC=12，∠B=30°$

$所以CD=\frac {1}{2}BC=6$

$在Rt△ACD中$

$因为CD=6， tanA =\frac {CD}{AD}=\frac {3}{4}$

$所以AD=8.$

$所以AC=\sqrt{AD²+CD²}=10$

3

2

解:因为$BE=BC，DE=CD，BD=BD$

所以$△CBD≌△EBD(\mathrm {SSS})$

所以$∠CBD=∠EBD$

因为四边形$ABCD$是矩形

所以$AD//BC，AD=BC=8，∠A=90°$

所以$∠ADB=∠CBD$

所以$∠ADB=∠EBD$

所以$OB=OD$

设$AO=x，$则$OD=8-x$

所以$OB=8-x$

因为$AB²+AO²=OB²$

所以$4²+x²=(8-x)²$

所以$x=3$

所以$tan∠ABE=\frac {AO}{AB}=\frac {3}{4}$

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