解：$(1)$∵$\angle DFO=\angle DCO=\angle COF=90°，$$OC//DF$
∵$CD//OA$
∴四边形$COFD$是矩形
∵根据$\triangle COD$沿$OD$翻折，得到$\triangle FOD$
∴$OC=OF=6$
∴四边形$COFD$是正方形
同理四边形$BDGE$是正方形
∴$CD=OF=DF=6，$$OA=10，$$AE=6-4=2$
∴$D(6，$$6)，$$E(10，$$2)$
设直线$DE$的解析式是$y=kx+b$
代入得：$\begin{cases}{2=10k+b}\\{6=6k+b}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=-1}\\{b=12}\end{cases}$
∴直线$DE$的函数关系式是$y=-x+12$
$(2)$依题意有：$CD=a，$$BD=10-a，$$BE=6-b$
∵$\angle ODE=90°，$$\angle OCD=90°$
∴$\angle CDO+\angle COD=\angle CDO+\angle BDE=90°$
∴$\angle COD=\angle BDE$
∵$\angle OCD=\angle B=90°$
∴$\triangle OCD∽\triangle DBE$
∴$\frac {BD}{OC}=\frac {BE}{CD}，$即$\frac {10-a}{6}=\frac {6-b}{a}$
∴$b=\frac {1}{6}a^2-\frac {5}{3}a+6=\frac {1}{6}(a-5)^2+\frac {11}{6}$
当$a=5$时，$b_{最小值}=\frac {11}{6}$
$(3)$猜想：直线$DE$与抛物线$y=-\frac {1}{24}x^2+6$只有一个公共点
证明：由$(1)$可知，$DE$所在直线为$y=-x+12$
代入抛物线，得$-\frac {1}{24}x^2+6=-x+12$
化简得$x^2-24x+144=0$
∵根的判别式$(-24)^2-4×1×144=0$
∴直线$DE$与抛物线$y=-\frac {1}{24}x^2+6$只有一个公共点
解得$x=12$
∴$y=0$
公共点为：$(12，$$0)$
∴延长$OF $交$DE$于点$H，$点$H$即为公共点
