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解：$(1)△A_{2}B_{2}C_{2}$三个顶点的坐标为$A_{2}(4，$$0)、$$B_{2}(5，$$0)、$$C_{2}(5，$$2) $

$(2)$方法一：①如果$0< a≤3，$那么点$P_{1}$在线段$OM$上

$PP_{2}=PP_{1}+P_{1}P_{2}=6$

②如果$a> 3，$那么点$P_{1}$在点$M$的右边

$PP_{2}=PP_{1}-P_{1}P_{2}=6 $

方法二：任意一个点$(x，$$y)$关于$y$轴的对称点是$(-x，$$y)$

而点$(-x，$$y)$关于直线$1$的对称点是$(6+x，$$y)$

因此最终的点相对于原始的点向右平移了$6$个单位长度

因此$PP_{2}=6 $

解：$(1)AB_{1}//CB $

由旋转的特征可知$∠B_{1}AC_{1}=∠BAC，$$AC_{1}=AC$

∵$AB=BC$

∴$∠BAC=∠C$

∵$AC_{1}=AC$

∴$∠AC_{1}C=∠C$

∴$∠B_{1}AC_{1}=∠AC_{1}C$

∴$AB_{1}//CB$

$ (2)AB_{1}//CB$

$ (3)$作图如下

此时$△ABC$绕点$A$做顺时针旋转得到$△AB_{1}C_{1}，$点$C_{1}$将落在直线$CB$的延长线上

$(1)(2)$中得到的结论还成立，理由：

证明：显然$△ABC≌△AB_1C_1$

∴$∠BAC=∠B_1\ \mathrm {AC}_1$

∴$∠B_1\ \mathrm {AB}=∠C_1\ \mathrm {AC}$

∵$AC_1=AC$

∴$∠AC_1C=∠ACC_1$

∵$∠C_1\ \mathrm {AC}+∠AC_1C+∠ACC_1=180°$

∴$∠C_1\ \mathrm {AC}=180°-2∠ACC_1$

同理，在$△ABC$中，∵$BA=BC$

∴$∠ABC=180°-2∠ACC_1$

∴$∠ABC=∠C_1\ \mathrm {AC}=∠B_1\ \mathrm {AB}$

∴$AB_1//BC$