解：由折叠得，$∠ACD=∠A'CD=α=\frac {1}{2} ∠ACA'，$$∠A=∠DA'C=30°$
分三种情况：当$A'D=A'E$时，如图①
则$∠A'DE=∠A'ED=\frac {1}{2} (180°-∠A')=75°$
∵$∠A'ED$是$△ACE$的一个外角
∴$∠ACE=∠A'ED-∠A=45°$
∴$∠ACD=∠A'CD=α=\frac {1}{2} ∠ACE=22.5°$
当$A'D=A'E$时，当$△ADC$和$△A'DC$位于射线$AB$的同侧时，如图②
则$∠A'DE=∠A'ED=\frac {1}{2} ∠CA'D=15°$
∴$∠ACA'=180°-∠A-∠A'EA=135°$
∴$∠ACD=∠A'CD=α=\frac {1}{2} ∠ACA'=67.5°；$
当$DA'=DE$时，$∠A'=∠DEA'=30°$
∵$∠DEA'$是$△ACE$的一个外角
∴$∠DEA'> 30°$
∴此种情况不成立；
当$ED=EA'$时，如图③
则$∠EDA'=∠A'=30°$
∴$∠DEA'=180°-∠EDA'-∠A'=120°$
∵$∠A'ED$是$△ACE$的一个外角
∴$∠ACE=∠A'ED-∠A=90°$
∴$∠ACD=∠A'CD=α=\frac {1}{2} ∠ACE=45°$
综上所述，若$△A'DE$是等腰三角形，则α的度数为$22.5°$或$67.5°$或$45°$
