第108页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：设从该电脑公司购进$A$型电脑$x$台，$B$型电脑$y$台，$C$型电脑$z$台

则可分以下三种情况：①只购进$A$型电脑和$B$型电脑

由题意得$\begin{cases}6000x+4000y=100500\\x+y=36\end{cases} $解得$\begin{cases}x=-21.75\\y=57.75\end{cases}($不合题意，舍去)

②只购进$A$型电脑和$C$型电脑

由题意得$\begin{cases}6000x+2500z=100500\\x+z=36\end{cases} $解得$\begin{cases}x=3\\z=33\end{cases}$

③只购进$B$型电脑和$C$型电脑

由题意得$\begin{cases}4000y+2500z=100500\\y+z=36\end{cases} $解得$\begin{cases}y=7\\z=29\end{cases}$

∴有两种方案可供选择，①购进$A$型电脑$3$台，$C$型电脑$33$台；

②购进$B$型电脑$7$台，$C$型电脑$29$台

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解：$(2)$当$0＜t≤2$时，点$P $在$BC$边上，点$Q $在$CD$边上

此时$CP=3t，$$CQ=2t$

∴$S=\frac {1}{2}×3t×2t，$整理得，$S=3t^2$

当$2＜t≤3$时，点$P $在$AB$边上，点$Q $在$CD$边上

此时，$CQ=2t$

∴$S=\frac {1}{2}×2t×6，$整理得，$S=6t$

当$3＜t≤4$时，点$P $在$AB$边上，点$Q $在$BD$边上

连接$AQ，$过点$Q{作}QM⊥AD，$$QN⊥AB$

此时$DQ=(2t-6)\ \mathrm {cm}$

∴$\frac {MQ}{AB}=\frac {DQ}{BD}，$即$\frac {MQ}{6}=\frac {2t-6}{6\sqrt 2}$

解得$MQ=(\sqrt {2}t-3\sqrt {2})\ \mathrm {cm}$

∴$NQ=(6-\sqrt {2}t+3\sqrt {2})\ \mathrm {cm}$

∴$S=6×6-2×\frac {1}{2}×6×(\sqrt {2}t-3\sqrt {2})-\frac {1}{2}×(12-3t)×(6-\sqrt {2}t+3\sqrt {2})-\frac 12×6×(3t-6)$

整理得，$S=-\frac {3\sqrt 2}2t^2+\frac {9\sqrt {2}}2t+18$

综上，当$0＜t≤2$时，$S=3t^2；$

当$2＜t≤3$时，$S=6t$

当$3＜t≤4$时，$S=-\frac {3\sqrt 2}2t^2+\frac {9\sqrt {2}}2t+18$

解：$(1)$如图所示

$(2)$丁丁的方法不正确，理由：

若直线$CD$平分$△ABC$的面积

则$BD=AD=5$

∴$AD+AC=17，$$BD+BC=15$

∴丁丁的方法不正确

$ (3)①$若直线经过顶点，则$AC$边上的垂直平分线即为所求

②若直线不过顶点，可分以下三种情况：

$(\mathrm {a}) $如图，直线与$BC、$$AC$分别交于点$E、$$F，$过点$E$作$EH⊥AC$于点$H，$过点$B$作$BG⊥AC$于点$G$

易求得$BG=8，$$AG=CG=6$

设$CF=x，$则$CE=16-x$

∵$△CEH∽△CBG$

∴$\frac {EH}{BG}=\frac {CE}{CB}$

∴$EH=\frac {4}{5} (16-x)$

∴$S_{△EFC}=\frac {1}{2}x · \frac {4}{5} (16-x)=\frac {1}{2} × \frac {1}{2} ×12×8$

解得$x_{1}=6($舍去)，$x_{2}=10$

∴$CF=10，$$CE=6，$直线$EF $即为所求直线

$(\mathrm {b})$直线与$AB、$$AC$分别交于点$M、$$N$

由$(\mathrm {a})$可得，$AM=6 ，$$AN=10，$直线$MN$即为所求直线

$(\mathrm {c})$直线与$AB、$$BC$分别交于点$P、$$Q，$过点$A$作$AY⊥BC$于点$Y，$过点$P $作$PX⊥BC$于点$X$

易求得$AY=\frac {48}{5}$

设$BP=x，$则$BQ=16-x$

∵$△PBX∽△ABY$

∴$\frac {PX}{AY}=\frac {BP}{BA}$

∴$PX=\frac {24}{25} x$

∴$S_{△PBQ}=\frac 12 · \frac {24}{25}x · (16-x)= \frac 12×\frac 12×12×8$

解得$x_{1}=8+ \sqrt{14} > 10($舍去)，$x_{2}=8- \sqrt{14}，$$16-x=8+ \sqrt{14} > 10($舍去)

∴此种情况不存在

综上所述，符合条件的直线共有$3$条