解：$(1)$把点$A(3，$$3)$代入$y=x^2+bx$中，得$3=9+3b$
解得$b=-2$
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x$
$(2)$设点$P $在点$Q $的左下方，过点$P $作$PE⊥QQ_{1}$于点$E，$如图①所示
∵$PE⊥QQ_{1}，$$QQ_{1}⊥x$轴
∴$PE//x$轴
∵直线$OA$的表达式为$y=x$
∴$∠QPE=45°$
∴$PE= \frac {\sqrt{2}}{2}PQ=2$
设点$P(m，$$m)(0< m< 1)，$则$Q(m+2，$$m+2)，$$P_{1}(m，$$\ \mathrm {m^2}-2\ \mathrm {m})，$$Q_{1}(m+2，$$\ \mathrm {m^2}+2\ \mathrm {m})$
∴$PP_{1}=3m-\ \mathrm {m^2}，$$QQ_{1}=2-\ \mathrm {m^2}-m$
∴$S_{梯形PQQ_{1}P_{1}}= \frac 12(PP_{1}+QQ_{1}) · PE=-2\ \mathrm {m^2}+2m+2=-2(m-\frac 12) ^2+\frac {5}{2} $
∴当$m= \frac 12$时，$S_{梯形PQQ_{1}P_{1}}$取最大值，最大值为$ \frac {5}{2} $
$(3)$存在， 如图②
①点$E$的对称点为$F，$$EF $与$AM$交于点$G，$连接$OM、$$MF、$$AF、$$OF$
∵$S_{△AOF}=S_{△AOM}$
∴$MF//OA$
∴$△AEG∽△MFG$
∴$\frac {EG}{FG}=\frac {AG}{MG}$
∵$EG=GF$
∴$AG=GM$
∵二次函数$y=x^2-2x$
∴其顶点$M$的坐标为$(1，$$-1)$
∵$A(3，$$3)$
∴点$G(2，$$1)$
易求得直线$AM$的表达式为$y=2x-3$
则可求出线段$AM$的垂直平分线$EF $的表达式为$y=- \frac {1}{2} x+2$
由$ \begin{cases}{y=x}\\{y=- \dfrac {1}{2} x+2}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{x=\dfrac {4}{3}}\\{y= \dfrac {4}{3} }\end{cases}$
∴点$E$的坐标为$(\frac 43，$$\frac 43)$
②设点$E$关于点$A$的对称点为$E'，$$E'$关于$AM$的对称点为$F'$
根据对称性可知，$△OAF' $与$△AOF $的面积相等
此时$E'(\frac {14}{3}，$$ \frac {14}{3} )$
综上所述，满足条件的点$E$的坐标为$(\frac {4}{3} ，$$\frac {4}{3} ) $或$(\frac {14}{3}，$$ \frac {14}{3} )$
