第119页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：$(1)$∵$Rt\triangle ABC$中$\angle B=30°$

∴$\angle A=60°$

∵$\angle E=30°$

∴$\angle EQC=\angle AQM=60°$

∴$\triangle AMQ$为等边三角形

∴$AM=AQ$

过点$M$作$MN\bot AQ，$垂足为点$N$

在$Rt\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{3}，$$BC=AC•tanA=3$

∴$EF=BC=3$

根据题意可知$CF=x$

∴$CE=EF-CF=3-x，$$CQ=CE•tanE=\frac {{\sqrt{3}}}{3}(3-x)$

∴$AQ=AC-CQ=\sqrt{3}-\frac {{\sqrt{3}}}{3}(3-x)=\frac {{\sqrt{3}}}{3}x$

∴$AM=AQ=\frac {{\sqrt{3}}}{3}x$

而$MN=AM•sinA=\frac {1}{2}x$

∴${S_{△MAQ}}=\frac {1}{2}AQ•MN=\frac {1}{2}×\frac {{\sqrt{3}}}{3}x•\frac {1}{2}x=\frac {{\sqrt{3}}}{{12}}{x^2}，$

$(2)$由$(1)$知$BF=CE=3-x，$$PF=BF•tanB=\frac {{\sqrt{3}}}{3}(3-x)$

∴${S_{重叠}}={S_{△ABC}}-{S_{△AMQ}}-{S_{△BPF}}=\frac {1}{2}AC•BC-\frac {1}{2}AQ•MN-\frac {1}{2}BF•PF$

$=\frac {1}{2}×3×\sqrt{3}-\frac {\sqrt{3}}{12}{x}^2-\frac {1}{2}(3-x)×\frac {\sqrt{3}}{3}(3-x)$

$=-\frac {{\sqrt{3}}}{4}{x^2}+\sqrt{3}x=-\frac {{\sqrt{3}}}{4}{(x-2)^2}+\sqrt{3}$

所以当$x=2$时，重叠部分面积最大，最大面积是$\sqrt{3}$

$y=25t^2-80t+100(0≤t≤4)$

解：$(2)$当$PQ=3\sqrt{5}$时，$25t^2-80t+100=(3\sqrt{5})^2$

整理，得：$5t^2-16t+11=0$

解得：$t_1=1，$$t_2=\frac {11}{5}$

$(3)$经过点$D$的双曲线$y=\frac {k}{x}(k\neq 0)$的$k$值不变

连接$OB，$交$PQ{于} $点$D，$过点$D$作$DF\bot OA$于点$F$

∵$OC=6，$$BC=8$

∴$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=10$

∵$BQ//OP$

∴$\triangle BDQ∽\triangle ODP$

∴$\frac {BD}{OD}=\frac {BQ}{OP}=\frac {2t}{3t}=\frac {2}{3}$

∴$BD=\frac 23OD$

∵$OB=OD+BD$

∴$OD+\frac 23OD=10$

∴$OD=6$

∵$CB//OA$

∴$\angle DOF=\angle OBC$

在$Rt\triangle OBC$中，$\sin \angle OBC=\frac {OC}{OB}=\frac {6}{10}=\frac {3}{4}，$$\cos \angle OBC=\frac {BC}{OB}=\frac {8}{10}=\frac {4}{5}$

∴$OF=OD · cos∠DOF=OD·\cos \angle OBC=6×\frac {4}{5}=\frac {24}{5}，$

$DF=OD · sin∠DOF=OD·\sin \angle OBC=6×\frac {3}{5}=\frac {18}{5}$

∴点$D$的坐标为$(\frac {24}{5}，$$\frac {18}{5})$

∴经过点$D$的双曲线$y=\frac {k}{x}(k\neq 0)$的$k$值为$\frac {24}{5}×\frac {18}{5}=\frac {432}{25}$

$(1)$证明：∵$△ABC$是等边三角形

∴$∠A=∠B=60°，$$AB=AC$

∵$AD=CF$

∴$AF=BD$

在$△ADF $和$△BED$中

$\begin{cases}{AD=BE}\\{∠A=∠B}\\{AF=BD}\end{cases}$

∴$△ADF≌△BED(\mathrm {SAS})$

$(2)$解：分别过点$C、$$F$作$CH⊥AB，$$FG⊥AB，$垂足分别为点$H、$$G$

在等边$△ABC$中，$∠A=∠B=∠ACB=60°，$$AB=BC=AC=4$

∴$CH=AC · sin 60°=2\sqrt {3}，$$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB · CH=4\sqrt {3}$

∵$AD$的长为$x，$则$AD=BE=CF=x，$$AF=4-x$

∴$FG=AF · sin 60°=\frac {\sqrt {3}}2(4-x)$

∴$S_{△ADF}=\frac {1}{2}AD · FG=\frac {\sqrt 3}4x(4-x)$

由$(1)$可知$△ADF≌△△BED$

同理可证，$△BED≌△CFE$

∴$S_{△ADF}=S_{△BDE}=S_{△CFE}=\frac {\sqrt 3}4x(4-x)$

∵$△DEF$的面积为$y$

∴$y=S_{△ABC}-3S_{△ADF}=4\sqrt {3}-\frac {3\sqrt 3}4x(4-x)=\frac {3\sqrt {3}}4x^2-3\sqrt {3}x+4\sqrt {3}$

$(3)$由$(2)$知，$y=\frac {3\sqrt 3}4x^2-3\sqrt 3x+4\sqrt 3$

∵$a=\frac {3\sqrt 3}4＞0，$对称轴为直线$x=-\frac {-3\sqrt 3}{2×\frac {3\sqrt 3}4}=2$

∴当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x≤2$时，$y$随$x$的增大而减小

即当$2＜x≤4$时，$△DEF$的面积随$AD$的增大而增大，

当$0≤x≤2$时，$△DEF$的面积随$AD$的增大而减小