解：$(2)$设每个公司租出的汽车为$x$辆，两公司的月利润分别为$y_甲$元、$y_乙$元，月利润差为$y$元
则$y_甲=[(50-x)×50+3000]x-200x，$$y_乙=3500x-1850$
当甲公司的利润大于乙公司时，$0< x< 37，$
$y=y_甲-y_乙=[(50-x)×50+3000]x-200x-(3500x-1850)=-50x^2+1800x+1850$
当$x=- \frac {1800}{50×2}=18$时，利润差最大，且为$18050$元；
当乙公司的利润大于甲公司时，$37< x≤50，$
$y=y_乙-y_甲=3500x-1850-[(50-x)×50+3000]x+200x=50x^2-1800x-1850$
∵对称轴为直线$x=- \frac {-1800}{50×2}=18，$$50> 0$
∴当$37< x≤50$时，$y$随$x$的增大而增大
∴当$x=50$时，利润差最大，且为$33150$元
综上所述，两公司月利润差的最大值为$33150$元
$(3)$∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司的月利润，
则利润差为$y=-50x^2+1800x+1850-ax=-50x^2+(1800-a)x+1850$
对称轴为直线$x=\frac {1800-a}{100}$
∵$x$只能取整数，且当两公司租出的汽车均为$17$辆时，月利润之差最大
∴$∶16.5< \frac {1800-a}{100} < 17.5$
解得$50< a< 150 $
