第30页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：$(1)$如图①，过点$C$作$OB$的垂线分别交仰角、俯角线于点$E、$$D，$交水平线于点$F$

在$ Rt △A EF $中，$tan ∠EAF=\frac {EF}{AF}$

∴$EF=AF · tan 15°≈130×0.27=35.1(\ \mathrm {cm})$

∴$CE=160+35.1=195.1(\ \mathrm {cm})$

∴小杜最少需要下蹲$208-195.1=12.9(\ \mathrm {cm})$才能被识别

$(2)$如图②，过点$B$作$OB$的垂线分别交仰角、俯角线于点$M、$$N，$交水平线于点$P$

在$ Rt △A PM $中，$tan ∠MAP=\frac {MP}{AP}$

∴$MP=AP · tan 20°≈150×0.36=54.0(\ \mathrm {cm} )$

∵$AP=AP，$$∠MAP=∠NAP，$$∠APM=∠APN=90°$

∴$△AMP≌△ANP(\mathrm {ASA})$

∴$PN=MP=54.0\ \mathrm {cm}$

∴$BN=160-54.0=106.0(\ \mathrm {cm})$

∴小若踮起脚尖后头顶的高度为$120+3=123(\ \mathrm {cm})$

∴小若头顶超出点$N$的高度为$123-106.0=17.0(\ \mathrm {cm})> 15\ \mathrm {cm}$

∴踮起脚尖小若能被识别

$\frac {CD}{C'D'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {AD}{A'D'}$

$∠A=∠A'$

解：$(2)△ABC∽△A'B'C' ，$理由：

如图，过点$D、$$D'$分别作$DE//BC，$$D'E'//B'C'，$

$DE$交$AC$于点$E，$$D'E'$交$A'C'$于点$E'$

∵$DE//BC$

∴$△ADE∽△ABC$

∴$\frac {AD}{AB}=\frac {DE}{BC}=\frac {AE}{AC}$

同理可得，$\frac {A'D'}{A'B'}=\frac {D'E'}{B'C'}=\frac {A'E'}{A'C'}$

∵$\frac {AD}{AB}=\frac {A'D'}{A'B'} $

∴$\frac {DE}{BC}= \frac {D'E'}{B'C'} $

∴$\frac {DE}{D'E'} =\frac {BC}{B'C'} $

同理可得，$\frac {AE}{AC}= \frac {A'E'}{A'C'}$

∴$\frac {AC-AE}{AC}= \frac {A'C'-A'E'}{A'C}，$即$ \frac {EC}{AC}=\frac {E'C'}{A'C'}$

∴$\frac {EC}{E'C'}=\frac {AC}{A'C'}$

∵$\frac {CD}{C'D'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {BC}{B'C'}$

∴$\frac {CD}{C'D'}=\frac {DE}{D'E'}=\frac {EC}{E'C'}$

∴$ △DCE∽△D'C'E$

∴$∠CED=∠C'E'D'$

∵$DE//BC$

∴$∠CED+∠ACB=180°$

同理可得，$∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°$

∴$∠ACB=∠A'C'B'$

∵$\frac {AC}{A'C'}=\frac {CB}{C'B'}$

∴$ △ABC∽△A'B'C'$