第41页 - 同步练习九年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

解：∵$DE//BC$

∴$△ADE∽△ABC$

∴$\frac {DE}{BC}=\frac {AE}{AC}$

∵$\frac {AE}{EC}=\frac 12$

∴$\frac {DE}{BC}=\frac {AE}{AC}=\frac 13$

∵$DE//BC$

∴$∠ODE=∠OCB$

∵$∠DOE=∠BOC$

∴$△DOE∽△BOC，$且相似比为$1 ：$$ 3$

∴$△DOE$与$△BOC$的周长比为$1 ：$$3，$面积比为$1 ：$$9$

解：$(1)$∵$AD//BC$

∴$∠DAO=∠OCB$

∵$∠AOD=∠BOC$

∴$△AOD∽△COB$

∵$△AOD$的面积与$△BOC$的面积之比为$1：$$9$

∴$AD：$$BC=1：$$3$

$(2)$∵$△AOD∽△COB，$$AD：$$BC=1：$$3$

∴$OD：$$OB=AD：$$BC=1：$$3$

∴$S_{△AOD}：$$S_{△AOB}=1：$$3$

∵$△AOB$的面积为$6$

∴$S_{△AOD}=2，$$S_{△ABD}=8$

∵$S_{△ABD}：$$S_{△BCD}=AD：$$BC=1：$$3$

∴$S_{△BCD}=24$

∴$S_{梯形ABCD}=S_{△ABD}+S△ BCD=32$

解：作$AG⊥BC，$垂足为$G$

∵$AD=AC$

∴$∠ACB=∠FDC$

∵点$D$是$BC$的中点

∴$DB=DC$

∵$DE⊥BC$

∴$∠EDB=∠EDC=90°$

在$△BDE$和$△CDE$中

$\begin{cases}{DE=DE}\\{∠EDB=∠EDC}\\{DB=DC}\end{cases}$

∴$△BDE≌△CDE(\mathrm {SAS})$

∴$∠FCD=∠ABC$

∵$∠FDC=∠ACB$

∴$△FCD∽△ABC，$且相似比为$CD：$$BC=1：$$2$

∴$S_{△ABC}=4S_{△FCD}$

∵$S_{△FCD}=5$

∴$S_{△ABC}=\frac 12×BC×AG=20$

∵$BC=10$

∴$AG=4$

∵点$D$为$BC$的中点

∴$BD=CD=5$

∵$AD=AC，$$AG⊥BC$

∴点$G$为$CD$的中点，$DG=\frac 12CD=\frac 52$

∴$BG=BD+DG=\frac {15}{2}$

∵$DE⊥BC$

∴$DE//AG$

∴$△BDE∽△BGA$

∴$\frac {BD}{BG}=\frac {DE}{AG}$

∵$BD=5，$$BG=\frac {15}{2}，$$AG=4$

∴$\frac 5{\frac {15}{2}}=\frac {DE}4$

∴$DE=\frac 83$

解：由$△ADE∽△ABC，$得$\frac {S_{△ADE}}5=(\frac {AD}{AB})^2=x^2，$

$S_{△ADE}=5x^2$

又$\frac y{S_{△ADE}}=\frac {BD}{AD}=\frac {AB-AD}{AD}=\frac {AB}{AD}-1=\frac 1{x}-1$

∴$y=(\frac 1{x}-1) · S_{△ADE}=(\frac 1{x}-1) · 5x^2=5x-5x^2$

∴$y=5x-5x^2(0＜x＜1)$