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解：∵使得$C，$$D$两村到$E$站的距离相等

∴$DE=CE$

∵$DA⊥AB$于$A，$$CB⊥AB$于$B$

∴$∠A=∠B=90°$

∴$AE^2+AD^2=DE^2，$$BE^2+BC^2=EC^2$

∴$AE^2+AD^2=BE^2+BC^2$

设$AE=x，$则$BE=AB-AE=(25-x)$

∵$DA=15\ \mathrm {km}，$$CB=10\ \mathrm {km}$

∴$x^2+15^2=(25-x)^2+10^2$

解得：$x=10$

∴$AE=10\ \mathrm {km}$

∴收购站$E$应建在离$A$点$10\ \mathrm {km}$处

解：$(1)$∵$AD$是边$BC$的中线

∴$BD=CD=\frac 12BC=5\ \mathrm {cm}$

∵$AB=13\ \mathrm {cm}，$$AD=12\ \mathrm {cm}，$$BD=5\ \mathrm {cm}$

∴$AB^2=AD^2+BD^2$

∴$△ABD$是直角三角形，且$∠ADB=90°$

∵点$D$是线段$BC$的中点，且$AD⊥BC$

∴$AD$是线段$BC$的垂直平分线

∴$AC=AB=13\ \mathrm {cm}$

$(2)S_{△ABC}=\frac 12BC · AD=\frac 12×10×12=60\ \mathrm {cm^2}$