$(2)$证明：∵$DE⊥AC，$$BF⊥AC$
∴$∠CED=∠AFB=90°$
∵$AE=CF$
∴$AE+EF=CF+EF，$即$AF=CE$
在$Rt△ABF $和$Rt△CDE$中
$\begin{cases}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{cases}$
∴$Rt△ABF≌△Rt△CDE(\mathrm {HL})$
∴$BF= DE$
在$△DEG $和$△BFG $中
$\begin{cases}{∠EGD=∠FGB}\\{∠GED=∠GFB}\\{DE=BF}\end{cases}$
∴$△DEG≌△BFG(\mathrm {AAS})$
∴$EG=FG，$$DG=BG$
∴$BD$与$EF $互相平分于点$G$
$ (3)$解：$ (2)$中的结论成立。 理由如下：
∵$AE=CF$
∴$AE-EF=CF-EF，$即$AF=CE$
∵$DE⊥AC，$$BF⊥AC$
∴$∠CED=∠AFB=90°$
在$Rt△ABF $和$Rt△CDE$中
$\begin{cases}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{cases}$
∴$Rt△ABF≌Rt△CDE(\mathrm {HL})$
∴$BF=DE$
∵$∠BGF=∠DGE，$$∠BFG=∠DEG=90°，$$BF=DE$
∴$△BFG≌△DEG$
∴$FG=EG，$$BG=DG，$即$(2)$中的结论仍然成立
