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$(1)$证明：∵$BF=AC，$$AB=AE$

∴$BF+AB=AC+AE，$即$FA=EC$

∵$△DEF$是等边三角形

∴$EF=DE$

在$△AEF $与$△CDE$中

$\begin{cases}{FA=EC}\\{EF=DE}\\{AE=CD}\end{cases}$

∴$△AEF≌△CDE(\mathrm {SSS})$

$(2)$是等边三角形，理由如下：

由$△AEF≌△CDE，$得$∠FEA=∠EDC，$$∠EFA=∠DEC$

∵$∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF，$$△DEF$是等边三角形

∴$∠DEF=60°$

∴$∠BCA=60°$

∵$∠DEC+∠FEC=60°$

∴$∠EFA+∠FEC=60°$

∴$∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°$

∴$AB=BC$

∴$△ABC$是等边三角形

解：$(1)$如图①，直线$CD$过点$P $且垂直于$OP $

则$△OCD$是等腰三角形。理由如下：

∵$OP $为$∠AOB$的平分线

∴$∠AOP=∠BOP$

∵$∠CPO=∠DPO=90°，$$OP=OP$

∴$△COP≌△DOP(\mathrm {ASA})$

∴$OC=OD$

∴$△OCD$是等腰三角形

$ (2)$答案不唯一，如图②，作$∠AOB$的平分线$OE，$过点$P $作$OE$的垂线

分别交$OE、$$OA、$$OB$于点$D、$$M、$$N，$则$△OMN$为等腰三角形。理由如下：

∵$OD$为$∠AOB$的平分线

∴$∠AOD=∠BOD$

∵$∠MDO=∠NDO=90°，$$OD=OD$

∴$△MOD≌△NOD(\mathrm {ASA})$

∴$OM=ON$

∴$△OMN$是等腰三角形

$ (3)$可以画$3$个，如图③~⑤