解：$(1) $当$t=3$时，$BP=16-3=13(\ \mathrm {cm})，$$BQ=2×3=6(\ \mathrm {cm})$
$S_{△PBQ}=\frac {1}{2}\ \mathrm {BP}·BQ=\frac {1}{2} ×13×6=39(\ \mathrm {cm^2})$
$ (2) $在$Rt△ABC$中，$AC^2=AB^2+BC^2=16^2+12^2=20^2$
∴$AC=20\ \mathrm {cm}$
当$CP $恰好平分$∠BCA$时，过点$P $作$PD⊥AC，$垂足为$D$
则$CD=BC=12\ \mathrm {cm}，$$AD=AC-CD=8\ \mathrm {cm}，$$PD=BP=(16-t)\ \mathrm {cm}$
在$Rt△ADP $中，$AP^2=AD^2+PD^2，$即$t^2=8^2+(16-t)^2$
解得$t=10$
∴当$t=10$时，$CP $恰好平分$∠BCA$
$ (3)①$若$CQ=BQ，$则$∠C=∠CBQ$
∵$∠ABC=90°$
∴$∠C+∠A=90°，$$∠CBQ+∠ABQ=90°$
∴$∠A=∠ABQ$
∴$BQ=AQ$
∴$CQ=AQ=10\ \mathrm {cm}，$即$2t-12=10，$解得$t=11$
②若$CQ=BC，$则$2t-12=12，$解得$t=12$
③若$BQ=BC，$过点$B$作$BE⊥AC，$垂足为$E$
则$BE=\frac {AB·BC}{AC}=\frac {12×16}{20}= \frac {48}{5} (\ \mathrm {cm})$
在$Rt△BCE$中，$CE^2=BC^2-BE^2$
∴$CE= \frac {36}{5}\ \mathrm {cm}$
∴$CQ=2CE= \frac {72}{5}\ \mathrm {cm}，$则$2t-12=\frac {72}{5}$
解得$t=\frac {66}{5}$
综上所述，当$t=11、$$12$或$ \frac {66}{5} $时，$△BCQ $为等腰三角形
