$解：(1)AE=CF且AE⊥CF。$
$理由：∵四边形ABCD是正方形$
$∴AD=DC，∠ADC=90°$
$∵∠EDF=90°$
$∴∠ADC=∠EDF$
$∴∠ADE=∠CDF$
$在△ADE和△CDF中$
$\begin{cases}{DA=DC}\\{∠ADE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{cases}$
$∴△ADE≌△CDF(SAS)$
$∴AE=CF，∠DAE=∠DCF$
$如图，设直线AE与CF，CD分别交于点G，I$
$∴∠AIC=∠ADI+∠DAE=∠CGI+∠DCF$
$∴∠CGI=∠ADI=90°，即AE⊥CF$
$∴AE=CF，AE⊥CF。$
$(2)证明：由(1)知AE⊥CF$
$又∵BM⊥AG，BN⊥CF$
$∴∠AGN=∠BMG=∠BNG=90°$
$∴四边形BMGN是矩形$
$∴∠MBN=90°$
$∵四边形ABCD是正方形$
$∴AB=BC，∠ABC=∠MBN=90°$
$∴∠ABM=∠CBN$
$∵∠AMB=∠BNC=90°$
$∴△AMB≌△CNB(AAS)$
$∴MB=NB$
$∴矩形BMGN是正方形$
