解: 设他们有$ x $人, 根据题意, 得$ 25 ×0.8 ×10<10 x ，$解得$ x>20 .$ 答: 他们至少有$ 21 $人. 解: 设这班有学生$ x $人, 根据题意, 得 $x-(\frac {1}{2} x+\frac {1}{4} x+\frac {1}{7} x)<7 ， 解得 x<65 \frac {1}{3} ， $ 因为$ x $为整数, 且$ \frac {1}{2} x， \frac {1}{4} x， \frac {1}{7} x $均为整数,所以$ x $为$ 28 $的倍数. 又因为$ x<65 \frac {1}{3} ，$所以$ x $的值可取$ 28，56 ，$所以$ x_{最大值 }=56 .$ 答: 这班最多有学生$ 56 $人.
解$： (1) $设购买$ A $种型号健身器材$ x $套$， B $种型号健身器材$ y $套, 根据题意, 得 $\{\begin{array} { l } { x + y = 5 0 ， } \\{ 3 1 0 x + 4 6 0 y = 2 0 0 0 0 ， }\end{array} 解得 \{\begin{array}{l}x=20， \\y=30 .\end{array}..$ 答: 购买$ A $种型号健身器材$ 20 $套$， B $种型号健身器材$ 30 $套. $(2)$设购买$ A $种型号健身器材$ z $套, 根据题意, 得 $ 310 z+460(50-z) \leqslant 18000 ， $解得$ z \geqslant 33 \frac {1}{3} .$ 因为$ z $为整数, 所以$ z $的最小值为$ 34 .$ 答$： A $种型号健身器材至少要购买$ 34 $套.
$解: (1) 设甲、乙两种商品的单价分别为 a 元, b 元, 根据题意, 得 \left\{\begin{array}{l}10 a+15 b=350, \\ 15 a+10 b=375,\end{array}\right. 解得 \left\{\begin{array}{l}a=17, \\ b=12 .\end{array}\right. \\答: 甲、乙两种商品的单价分别为 17 元, 12 元.\\(2)① 设购买甲商品 x 件, 则购买乙商品 (30-x) 件, \\根据题意,得 17 x+12(30-x) \leqslant 460 ,解得 x \leqslant 20 .\\答: 最多可采购甲商品 20 件.\\②因为购买乙商品数量不超过甲商品数量的 \frac{4}{5} ,所以 30-x \leqslant \frac{4}{5} x , 解得 x \geqslant 16 \frac{2}{3} . \\又因为 x \leqslant 20 , 所以 16 \frac{2}{3} \leqslant x \leqslant 20 .\\因为 x 是正整数,所以 x 可以取 17,18,19,20 , 故有四种购买方案:\\方案一: 购买甲商品 17 件, 乙商品 13 件, 需要资金 17 \times 17+13 \times 12=445 (元)；\\方案二: 购买甲商品 18 件, 乙商品 12 件, 需要资金 18 \times 17+12 \times 12=450 (元)；\\方案三: 购买甲商品 19 件, 乙商品 11 件,需要资金 19 \times 17+11 \times 12=455 (元)；\\方案四: 购买甲商品 20 件, 乙商品 10 件,需要资金 20 \times 17+10 \times 12=460 (元).\\因为 445<450<455<460 , 所以该单位购买这批商品最少要用 445 元.\\$
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