证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形，四边形$EFGH$是菱形
∴$AD=CD，$$ED=GD，$$∠ADB=∠CDB，$$∠EHB=∠GHB$
∴$∠ADB-∠EHB=∠CDB-∠GHB，$
即$∠ADE=∠CDG$
在$△ADE$和$△CDG $中，
$ \begin{cases}{AD=CD }\\{∠ADE=∠CDG} \\{ED=GD} \end{cases}$
∴$△ADE≌△CDG(\mathrm {SAS})$
$ (2)$过点$E$作$EQ⊥DF $于点$Q，$则$∠EQB=90° $
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$∠A=90°，$$AD=AB=AE+BE=2+2=4，$
$ ∠EBQ=∠CBD=45°，$
∴$∠QEB=45°=∠EBQ.$
∴$EQ=BQ$
∵$BE=2$
∴$2EQ^2=2^2$
∴$EQ=BQ=\sqrt {^2}($负值舍去)
在$Rt△DAE$中，由勾股定理得$DE=\sqrt {AD^2+AE^2}=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt 5$
∵四边形$EFGH$是菱形
∴$EF=DE=2\sqrt 5$
∴$QF=\sqrt {EF^2-EQ^2}=\sqrt {(2\sqrt 5)^2-(\sqrt {^2})^2}=3\sqrt 2$
∴$BF=QF-QB=3\sqrt 2-\sqrt 2=2\sqrt 2.$
