解：$(1)$设$3x^3+ax^2-2=M(x-1)($其中$M$为整式)，
∴取$x=1，$得$3+a-2=0；$
解得$a=-1.$
$(2)$设$2x^2+mxy+ny^2-4x+2y=N(x+y-2)($其中$N$为整式)；
∴取$x=0，$$y=2，$得$4n+4=0①；$
取$x=1，$$y=1，$得$2+m+n-4+2=0②；$
由①②的$m=1，$$n=-1.$
$(3)$设这个非负数为$a，$另一因式为$Q，$
∴可得到关系式为$x^{2020}+2x^{1010}+3-a=Q(x+1)，$
将$x=-1$代入，得$1+2+3-a=0；$
解得$a=6.$
故$x^{2020}+2x^{1010}+3$除以一次因式$(x+1)$的余数为$6.$
