解：$(1)$设该超市购进大瓶饮料$x$瓶，小瓶饮料$y$瓶，
根据题意，得：$\begin{cases}{x+y=1000}\\{5x+2y=3800}\end{cases}$
解得：$x=600，y=400$
答：该超市购进大瓶饮料$600$瓶，小瓶饮料$400$瓶.
(2)设小瓶饮料作为赠品送出m瓶，
由题意，得：$7×600+3×100+(3-0.5)(300-m)-3800≥1250，$
解得：$m≤80，$
答：小瓶饮料作为赠品最多只能送出$80$瓶.
