解：$(1)△ADG∽△ACD，$$△CDG∽△CAD$
∵四边形$ABCD$为矩形
∴$∠ADC=90°$
∵$DG⊥AC$
∴$∠AGD=∠DGC=∠ADC=90°$
又$∠DAG=∠DAC，$$∠DCG=∠DCA$
∴$△ADG∽△ACD，$$△CDG∽△CAD$
$(2)$∵$△ADG∽△ACD，$$△CDG∽△CAD$
∴$△ADG∽△DCG$
∴$\frac {AG}{DG}=\frac {DG}{CG}$
∵$AG=6，$$CG=12$
∴$DG=6\sqrt 2$
∴$S_{矩形ABCD}=2S_{△ADC}=2×\frac 12×AC · DG=2×\frac 12×(6+12)×6\sqrt 2=108\sqrt 2$
