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解：连接$MD、$$ND$

∵$DE=DC，$$AD=BD，$$∠BDE=∠ADC=90°$

∴$△BDE≌△ADC$

∴$BE=AC=2，$$∠BED=∠C$

∵$M、$$N$分别是$Rt△BDE、$$Rt△ADC$斜边上的中线

∴$MD=BM=ME=1，$$ND=AN=NC=1$

∴$MD=ND=1，$$∠BED=∠MDE=∠C，$$∠EDN=∠A$

∴$∠MDE+∠EDN=∠A+∠C=90°，$即$∠MDN=90°$

∴$MN=\sqrt 2$

证明：过点$C$作$CG⊥FP$交$FP$延长线于点$G$

∵$CD⊥AB$

∴$BD//CG，$四边形$FDCG$是矩形

∴$CD=FG，$$∠B=∠PCG$

∵$AB=AC$

∴$∠B=∠ECP$

∴$∠ECP=∠PCG$

又$PC=PC，$$∠E=∠G=90°$

∴$△EPC≌△GPC$

∴$PE=PG$

∴$PE+PF=FG=CD$

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