解：$(1)BE//DF$
理由如下：∵$∠A=90°，$$∠C=90°$
∴$∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=180°$
∵$BE$平分$∠ABC，$$DF $平分$∠ADC$
∴$∠ABE= \frac {1}{2} ∠ABC，$$∠ADF= \frac {1}{2} ∠ADC$
∴$∠ABE+∠ADF= \frac {1}{2} (∠ABC+∠ADC)=90°$
∵$∠AFD+∠ADF=90°$
∴$∠ABE=∠AFD$
∴$BE//DF$
$(2)$∵$BE$平分$∠ABC，$$DF $平分$∠ADC$
∴$∠ABE= \frac {1}{2} ∠ABC，$$∠ADF= \frac {1}{2} ∠ADC$
∵$∠A=90°$
∴$∠BFP=∠A+∠ADF=90°+\frac {1}{2} ∠ADC$
∵$∠BPF=20°$
∴$∠ABE+∠BFP=180°-∠BPF=160°$
∴$\frac {1}{2} ∠ABC+90°+ \frac {1}{2} ∠ADC=160°$
∴$∠ABC+∠ADC=140°$
∴$∠C=360°-(∠ABC+∠ADC+∠A)=130°$
