解：$(1) $由题意，得
$\{\begin{array}{l}15m+20n=430\\10m+8n=212\end{array}，$解得$ \{\begin{array}{l}m=10\\n=14\end{array}$
$(2) $由题意，得
$\{\begin{array}{l}10x+14(100-x) \geqslant 1160\\10x+14(100-x) \leqslant 1168\end{array} $解得：$58≤x≤60$
∵$x$为正整数
∴$x$可取$58，$$59，$$60$
∴共有$3$种购买方案：①购进甲种蔬菜$58\ \mathrm {kg}，$乙种蔬菜$42\ \mathrm {kg}$
②购进甲种蔬菜$59\ \mathrm {kg}，$乙种蔬菜$41\ \mathrm {kg}；$
③购进甲种蔬菜$60\ \mathrm {kg}，$乙种蔬菜$40\ \mathrm {kg}.$
$(3)$由$(2)，$得
方案①获得的利润为$(16-10)×58+(18-14)×42=516($元)
方案②获得的利润为$(16-10)×59+(18-14)×41=518($元)
方案③获得的利润为$(16-10)×60+(18-14)×40=520($元)
∵$516<518<520$
∴购进甲种蔬菜$60\ \mathrm {kg}，$乙种蔬菜$40\ \mathrm {kg }$时，超市每天获得的利润取得最大值
由题意，得$520-2a×60-a×40≥(10×60+14×40)×20\%，$解得：$a≤1.8$
∴$a$的最大值为$1.8$
