解：(1) ∵$|a-3b|+(a+b-4)^2=0$
∴$\{\begin{array} { l } {a-3b=0}\\{a+b-4=0}\end{array}$，解得：$ \{\begin{array}{l}a=3\\b=1\end{array}$
$(2) $如图，过点$C$作$EF//PQ，$则
$∠PBC=∠BCE$
∵$PQ//MN$
∴$EF//MN$
∴$∠CAN=∠ACE$
设两灯转动的时间为$t $秒，则$∠CAM=(3t)°，$$∠PBC=t°$
∴$∠CAN=180°-∠CAM=(180-3t)°$
∵$180÷3=60($秒)
∴$0≤t<60$
∵$CD⊥AC$
∴$∠ACD=90°$
∵$∠BCD=20°$
∴$∠ACB=∠ACD-∠BCD=70°$
∴$∠PBC+∠CAN=∠BCE+∠ACE=∠ACB=70°$
∴$t+(180-3t)=70，$解得$t=55$
∴$∠CAN=15°$
∵$∠BAN=45°$
∴$∠BAC=∠BAN-∠CAN=30°$
$(3)$设灯$A$转动$x$秒时，两灯射出的光束互相平行
∵$180÷1-30=150($秒)
∴$0≤x<150$
∵$∠BAN=45°$
∴$∠BAM=180°-∠BAN=135°$
∵$PQ//MN$
∴$∠ABP=∠BAM=135°$
分类讨论如下：
①若$0≤x<60，$则$135-3x=135-(30+x)，$解得$x=15；$
②若$60≤x<120，$则$3x-180-45=135-(30+x)，$解得$x=82.5；$
③若$120≤x<150，$则$3x-360-135=30+x-135，$解得$x=195，$不合题意，舍去.
综上所述，灯$A$转动$15$秒或$82.5$秒时，两灯射出的光束互相平行
