解：$(1) $由题意，得
$\{\begin{array}{l}25m+50=25n\\10m+50=10n\end{array}，$解得$\{\begin{array}{l}m=1\\n=3\end{array}$
$(2)\ \mathrm {n}=3\ \mathrm {m}$
理由如下：
由题意，得$ \{\begin{array}{l}25m+a=25n①\\10m+a=10n②\end{array}$
①-②得$ 15m=5n$
∴$n=3m$
$(3) $设同时开放$ x $个检票口
由题意，得$ 8nx \geqslant 8m+a$
∵$n=3m$
∴$25m+a=75m$
∴$a=50m$
∴$24mx \geqslant 58m$
∵$m>0$
∴$24 x \geqslant 58，$解得$ x \geqslant 2 \frac {5}{12}$
∵$x $为自然数
∴$x$的最小值为$ 3 $
∴至少要同时开放$ 3 $个检票口
