解:$(1)$设钢钢出售的竹篮和陶罐数量分别为$x$个和$y$个
由题意,得$\begin{cases}{5x+12y=61} \\{ 6x+10y=60 } \end{cases},$解得$\begin{cases}{x=5 } \\{ y=3} \end{cases}$
∴钢钢出售的竹篮和陶罐数量分别为$5$个和$3$个
$(2)$设购买$ m $束鲜花
由题意,得$0≤61-5m≤20,$解得$8.2≤m≤12.2$
∵$m $为正整数
∴$m $可取$9,$$10,$$11,$$12$
∴共有$4$种购买方案:①购买$9$束鲜花;②购买$10$束鲜花;购买$11$束鲜花;④购买$12$束鲜花