解：$(1)$∵$AD=AB $
∴$∠D=∠DBA$
∴$∠BAC=∠D+∠DBA=2∠D=30°$
∴$∠D=15°，$$∠DBC=90°-∠D=90°-15°=75°$
$(2)$设$BC=x，$则$AC=\sqrt 3x，$$AD=AB=2x，$$DC=AD+AC=2x+\sqrt 3x$
∴$tan D=\frac {BC}{DC}=\frac {x}{2x+\sqrt 3x}=2-\sqrt 3，$$tan ∠DBC=\frac {DC}{BC}=\frac {2x+\sqrt 3x}{x}=2+\sqrt 3$
$(3)$如图，$∠C=90°，$$∠BAC=45°，$$AD=AB$
则$∠D=∠DBA，$$∠BAC=∠D+∠DBA=2∠D=45°$
∴$∠D=22.5°$
设$BC=x，$则$AC=x，$$AD+AB=\sqrt 2x，$$DC=\sqrt 2x+x$
∴$tan D=\frac {BC}{DC}=\frac x{\sqrt 2x+x}=\sqrt 2-1$
即$tan 22.5°=\sqrt 2-1$
