第55页 - 苏科版八年级数学课课练答案（上下册）

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证明：$ (1)$过点$D$作$DM⊥AB$于点$M，$

过点$B$作$BN⊥AD$于点$N $

由题意得$CD//AB，$$AD//BC$

所以四边形$ABCD$是平行四边形

因为这两个矩形纸片的宽相等

所以$DM=BN$

因为$DM⊥AB，$$BN⊥CD$

所以$∠AMD=∠ANB=90°$

在$△ADM$和$△ABN$中

$\begin {cases}{∠AMD=∠ANB }\\{∠A=∠A} \\{DM=BN} \end {cases}$

所以$△ADM≌△ABN(\mathrm {AAS})$

所以$AD=AB$

因为四边形$ABCD$是平行四边形

所以四边形$ABCD$是菱形

解:因为$ABCD$为正方形

所以$AB=AD$

因为$DF=BE，∠B=∠ADF=90°$

所以$△ADF≌△ABE$

所以$∠DAF=∠EAB，AE=AF$

因为$∠EAB+∠DAE=90°$

所以$∠DAF+∠DAE=90°$

所以$EF=\sqrt {AF²+AE²}=\sqrt {2}$

证明:因为$CD$平分$∠ACB，$$ DE⊥AC，$$DF⊥BC$

所以$DE=DF，$$∠DFC= ∠DEC=90°$

又因为$∠ACB= 90°$

所以四边形$DECF$是矩形

因为$DE=DF$

所以矩形$DECF$是正方形