解：$ (1)$由题意得
$ BC= BD- CD= 12- x$
所以$AC=\sqrt {AB²+ BC²}=\sqrt {5²+(12- x)²}$
$ CE=\sqrt {CD²+DE²}=\sqrt {x²+2²}$
所以$AC+ CE=\sqrt {5²+(12-x)²}+\sqrt {x²+2²}$
$=\sqrt {(12- x)² + 25}+\sqrt {x²+4}；$
$(2) 当点\ C\ 是\ A E\ 和\ B D\ 交点时,\ A C+C E 的值最小.$
$\because A B / / E D, A B=5, D E=2,\ $
$\therefore \frac{B C}{C D}=\frac{A B}{D E}=\frac{5}{2},\ $
$\text { 又 } \because B C+C D=B D=12,\ $
$\text { 则 } B C=\frac{5}{2} C D, C D=\frac{2}{5} B C,\ $
$\therefore C D+\frac{5}{2} C D=12,解得:\ C D=\frac{24}{7} .$
$B C+\frac{2}{5} B C=12 \text {, }解得:\ B C=\frac{60}{7}, C D=\frac{24}{7} .$
$故点\ C\ 在\ B D\ 上距离点\ B\ 的距离为\ \frac{60}{7}\ 时, A C+C E\ 的值最小;$
$(3)如图所示, 过点\ B\ 作\ A B \perp B D , 过点\ D\ 作\ E D \perp B D ,$
$\ 使\ A B=4, E D=3 ,D B=24,$
$\ \text { 连接 } A E \text { 交 } B D \text { 于点 } C,\ $
$\because A E=A C+C E=\sqrt{x^{2}+9} +\sqrt{(24-x)^{2}+16}$
$\ \therefore A E\ 的长即为代数式 \sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(24-x)^{2}+16}\ 的最小值.$
$过点\ A\ 作\ A F / / B D\ 交\ E D\ 的延长线于点\ F ,得矩形\ A B D F ,$
$则\ A B=D F=4, A F=B D=24 .$
$所以AE\ = \sqrt{A F^{2}+E F^{2}}=\sqrt{24^{2}+(3+4)^{2}} =25$
$即\ A E\ 的最小值是 25 .$
$即代数式\ \sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(24-x)^{2}+16}\ 的最小值为 25 .$$$
$$
