第39页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

解：$(1) $是矩形，理由是：

∵$\triangle A O B $是等边三角形

∴$O A=O B$

又 ∵四边形$ A B C D $是平行四边形

∴$O A=O C，$$ O B= O D$

∴$O A=O C=O B=O D$

∴$O A+O C=O B+O D ，$ 即$ A C=B D$

∴$▱ A B C D $是矩形

$ (2) $∵$△AOB$是等边三角形

∴$AB=AO=4$

∴$AC=2AO=8$

∴$BC=\sqrt {AC^2-AB^2}=4\sqrt 3\ \mathrm {cm}$

∴$S_{▱ABCD}=AB ·BC=4×4\sqrt 3=16 \sqrt 3\ \mathrm {cm^2}$

解：由题意得，$BP=2t\ \mathrm {cm}，$$DQ=t\ \mathrm {cm}$

∴$AQ=(10-t)\ \mathrm {cm}$

若四边形$ABPQ$是矩形

则有$AQ=BP，$即$10-t=2t$

∴$t=\frac {10}3s$

证明：连接$ A C 、$$ B D ，$ 设$ A C 、$$ B D $相交于点$ O ，$ 连接$ O E $

在$ Rt \triangle A C E $中，$ O $是斜边$ A C $的中点

∴$ O A=O E=O C $

同理，在$Rt \triangle B E D $中，$ O B=O E=O D$

∴$O A=O B=O C=O D$

∴$O A+O C=O B+ O D ，$ 即$ A C=B D$

∴$▱A B C D $是矩形

证明：∵$AB∥CD，$

∴$∠AEF+∠CFE=180°.$

∵$EG $平分$∠AEF，$$FG $平分$∠CFE，$$EH$平分$∠FEB，$

∴$∠GEF=\frac 12∠AEF，$$∠EFG=\frac 12∠CFE，$$∠HEF=\frac 12∠FEB.$

∵$∠AEF+∠CFE=180°，$$∠GEF=\frac 12∠AEF，$$∠EFG=\frac 12∠CFE，$

∴$∠GEF+∠EFG=90°，$

∴$∠EGF=90°，$

同理可得$∠EHF=90°，$$∠GEH=90°.$

∵$∠EGF=90°，$$∠GEH=90°，$$∠EHF=90°，$

∴四边形$EGFH$是矩形.