第27页 - 补充习题江苏八年级数学人教版人民教育出版社

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解:∵${PD}\ \mathrm {//} {OA}， $∴$∠{PDO}+$∴${DOC}=180°，$

$ \text { 而 } ∠{AOB}= 90°, $∴$∠{PBO}=180°-90°=90°，$

$\text { 又 } $∵${PC} \perp {OA}， $∴$∠{PCO}=90°， $∴$\text { 四边形 } {PCOD} \text { 为矩形, }$

∴${PO}= {CD}$

解:四边形$ A B C D $是矩形,

理由如下：连接$ A C ，$

∵$∠B=∠D=90° $

∴$\text { 在 } R t \triangle A B C \text { 和 } R t \triangle C D A \text { 中, } $

$\begin {cases}{A C=C A， }\\{A B=C D，}\end {cases}$

∴$R t \triangle A B C \cong R t \triangle C D A(H L)， $

∴$A D=B C， $

∵$A B=D C，$

∴ 四边形$ A B C D $是平行四边形,

∵$∠B=90° \text {, }$

∴ 四边形$ A B C D $是矩形.

证明:∵$A B=A C $

∴$∠A C B=∠A B C $

∵$∠E A C \text { 是 } \triangle A B C \text { 的外角 } $

∴$∠E A C=∠A B C+∠A C B =2 ∠A C B $

∵$A P \text { 平分 } ∠E A C $

∴$∠E A C=2 ∠P A C $

∴$2 ∠P A C=2 ∠A C B $

∴$∠P A C=∠A C B $

∴$A P / / B C $

∵$D P / / A B $

∴$\text { 四边形 } A B D P \text { 是平行四边形 } $

∴$D P=A B， A P=B D $

∵$D \text { 是 } B C \text { 边的中点 } $

∴$B D=D C $

∴$A P=D C $

∵$A P / / B C $

∴$\text { 四边形 } A D C P \text { 是平行四边形 } $

∵$D P=A B， A B=A C $

∴$D P=A C $

∴$\text { 四边形 } A D C P \text { 是矩形 }$

解: ∵ 四边形$ A B C D $是矩形,

∴$O A=O C， O B=O D， A C=B D $

∴$O A=O C=O B=O D， $

∵$A O, B O, C O, D O \text { 的中点 } E, F, G , H, $

∴$O E=O F=O G=O H， $

∴$\text { 四边形 } E F G H \text { 是矩形, } $

∵$E G=F H，$

∴$\text { 四边形 } E F G H \text { 是矩形. }$

解:当$ A B=A C $时, 四边形$ A F B D $是矩形,

理由如下:

∵$A F / / B C $

∴$∠A F E=∠D C E $

∵$E \text { 是 } A D \text { 的中点 } $

∴$A E=D E $

$\text { 在 } \triangle A F E \text { 和 } \triangle D C E \text { 中, } $

$\begin {cases}{∠A F E=∠D C E }\\{∠A E F=∠D E C， }\\{A E=D E}\end {cases}$

∴$\triangle A F E \cong \triangle D C E(A A S)， $

∴$A F=C D， $

∵$A F=B D $

∴$B D=C D ；$

∵$A F / / B D, A F=B D \text {, }$

∴ 四边形$ A F B D $是平行四边形,

∵$A B=A C， B D=C D， $

∴$∠A D B=90°，$

∴ 平行四边形$ A F B D $是矩形.