第26页 - 补充习题江苏八年级数学人教版人民教育出版社

证明: ∵$B E $平分$ ∠A B C ，$

∴$∠A B E=∠C B E \text {, }$

∵ 四边形$ A B C D $是矩形,

∴$A B / / C D， ∠C=∠D=90°， A D=B C， $

∴$∠A B E=∠B E C， $

∴$B B E C=∠E B C， $

∴$C E=A D， $

∵$E F \perp A E， $

∴$∠A E F=90°， $

∴$∠A E D+∠D A E=∠A E D +∠F E C=90°$

∴$∠D A E=∠F E C \text {, }$

在$ \triangle A D E $与$ \triangle C E F $中,

$\begin {cases}{∠D=∠C }\\{A D=C E }\\{∠D A E=∠F E C}\end {cases}$

∴$\triangle A D E \cong \triangle E C F(A S A)， $

∴$A E=E F$

证明$:\text { 延长 } A E \text { 交 } B C \text { 于 } H \text {, } $

$\text { 在 } \triangle C A E \text { 和 } \triangle C H E \text { 中, } $

$\begin {cases}{∠A C E=∠H C E }\\{C E=C E }\\{∠C E A=∠C E H=90°}\end {cases}$

∴$\triangle C A E ≌ \triangle C H E \text {, } $

∴$E \text { 是 } A H \text { 的中点, 又 } F \text { 是 } A C \text { 的中点, } $

∴$E F \text { 是 } \triangle A H C \text { 的中位线, } $

∴$E F / / B C \text {. } $

解$：D F= A B .$

理由如下:

$\text { 在 } \triangle E A B \text { 与 } \triangle A D F \text { 中, } $

$\begin {cases}{A E=A D }\\{∠A E B=∠D A F }\\{∠A B E=∠D F A=90°}\end {cases}$

∴$\triangle E A B \cong \triangle A D F(A A S)， $

∴$D F=A B$

解:在矩形$ A B C D $中

∵$A D / / B C $

∴$∠D B C=∠B D A$

由折叠性质可得$：∠C' B D=∠D B C $

∴$∠C' B D=∠B D A $

∴$D E=B E $

$\text { 设 } D E=x, \text { 则 } A E=8-x $

$\text { 在Rt } \triangle A B E \text { 中, } x^{2}=4^{2}+(8-x)^{2}$

解得$ x=5 $

∴$S_{\triangle B D E}=\frac {1}{2} ×5 ×4=10$

证明: ∵ 四边形$ A B C D $是平行四边形,

∴$A B / / C D， A B=C D， $

∵$A E / / B D， $

∴$\text { 四边形 } A B D E \text { 是平行四边形, } $

∴$A B=D E， $

∴$C D=D E， $

∵$E F \perp B C， $

∴$D F=\frac {1}{2}\ \mathrm {C} E .$

③

相等