解：$(1)$将点$(3，$$1)$代入$y_1=x+b$得，$b=-2$
将点$(3，$$1)$代入$y_2=\frac kx$得，$k=3$
∴函数表达式为$y_1=x-2，$$y_2=\frac 3x$
$(2) $当$ x>3 $时，$ y_1>y_2 ，$ 理由如下：
当$ x=3 $时，$ y_1 =y_2=1 $
又 ∵当$ x>3 $时，$ y_1 $随$ x $的增大而增大，$ y_2 $随$ x $的增大而减小
∴当$ x>3 $时，$y_{1}＞y_{2}.$
