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解：$(1)$猜想：$n+\frac 1{n+2}=\frac {(n+1)^2}{n+2}$

$ (2)$左边$=\frac {n(n+2)}{n+2}+\frac 1{n+2}=\frac {n^2+2n+1}{2n}=\frac {(n+1)^2}{n+2}=$右边

∴该等式正确

解：原式$=\frac {a+2-3}{a+2}×\frac {(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}=\frac {a-2}{a-1}$

若该代数式有意义，则$a≠-2$且$a≠2$

∴取$a=0，$原式$=\frac {0-2}{0-1}=2$