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解：$(1)$设函数表达式为$y=\frac kx$

将$x=20，$$y=45$代入得$45=\frac k{20}，$$k=900$

$ ∴y=\frac {900}x$

$ (2)$设第二天的销售价格为$a$元$/\ \mathrm {kg}，$则第$6$天的价格为$(a-9)$元$/\ \mathrm {kg}$

$ ∴\frac {900}a×2=\frac {900}{a-9}$

解得$a=18$

经检验，$a=18$是所列方程的解

∴第二天的销售价格为$18$元$/\ \mathrm {kg}$

$ (3)$当$x=15$时，$y=\frac {900}{15}=60(\ \mathrm {kg})$

$ (1920-420)÷60=25($天)

∴余下的草莓预计还需$25$天可以全部售完

解：$(1)$由图像可知，$y$是关于$x$的反比例函数，设$y=\frac kx$

将点$(10，$$2)$代入得，$2=\frac k{10}，$$k=20$

$ ∴y=\frac {20}x$

$ (2)①16×16-2×20=216(\ \mathrm {cm^2})$

$ (3)$当$x=6$时，$y=\frac {20}6=\frac {10}3$

当$x=12$时，$y=\frac {20}{12}=\frac 53$

∴小矩形的宽的取值范围为$\frac 53\sim \frac {10}3$