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$证明:(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，$

$∴∠F= ∠BCE.∵E是AB中点，∴AE=EB.\ $

$∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC(AAS).$

$解:(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°.$

$ ∵CD=4，∠F=30°，$

$∴CF=2CD=2×4=8，$

$ 即CF的长为8.$

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO是斜边AB上的中线.

$CO=\frac{1}{2}AB$

解:(2)∵四边形AMBN是矩形，

∴AB=MN，PB=PN，

∴△PBN是等腰三角形，

∴∠PBN=∠BNP=50°.

∴在△PBN中，∠BPN=180°-2∠PBN=80°，

即α=80°.

$证明:∵FH⊥EF，∴∠HFE=90°.\ $

$∵GE=GH，∴FG=\frac{1}{2}EH=GE=GH，$

$∴∠E=∠GFE.\ $

$∵四边形ABCD是矩形，\ $

$∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，\ $

$∴△ABF≌△DCE(AAS).$

$∴BF=CE，\ $

$∴BF-BC=CE-BC，即BE=CF.$

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$如图，延长CO至点E，$

$使CO=OE，连接AE、BE，\ $

$∵CO=OE，点O为AB中点，$

$∴OA=OB，$

$∴四边形ACBE为平行四边形\ $

$∵∠ACB=90°，$

$∴平行四边形AEBC是矩形，\ $

$∴CE=AB.∵CO=\frac{1}{2}CE.$

$∴CO=\frac{1}{2}AB.$

证明:(1)∵∠BAC=∠ABD=50°，

∴AM//BN.

∵P为AB中点，∴AP=BP.

∵∠APM=∠BPN，

∴△APM≌△BPN(ASA)，

∴AM=BN

∴四边形AMBN是平行四边形.

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