解：$(1)\ \mathrm {E} F / / G H ，$ 理由如下:
在$ \triangle B E G $中，$ \angle 2+\angle 3+α=180° ，$$ α=90° ，$
∴$\angle 2+\angle 3=90°，$
∵$\angle 1=\angle 2，$$ \angle 3=\angle 4，$
∴$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180°，$
∵$\angle 1+\angle 2+\angle F E G=180°，$$ \angle 3+\angle 4+\angle E G H=180°，$
∴$\angle F E G+\angle E G H=180°，$
∴$E F / / G H ；$
$(2) β=2 α-180° ，$ 理由如下:
在$ \triangle B E G $中，$ \angle 2+\angle 3+α=180° ，$
∴$\angle 2+\angle 3=180°-α，$
∵$\angle 1=\angle 2，$$ \angle 1=\angle M E B，$
∴$\angle 2=\angle M E B，$
∴$\angle M E G=2 \angle 2，$
同理可得，$ \angle M G E=2 \angle 3 ，$
在$ \triangle M E G $中，$\angle M E G+\angle M G E+β=180°，$
∴$β=180°-(\angle M E G+\angle M G E) $
$=180°-(2 \angle 2+2 \angle 3)$
$=180°-2(\angle 2+\angle 3) $
$=180°-2(180°-α) $
$=2 α-180° ；$
$(3) 90°+m $或$ 150° .$
理由如下: ①当$ n=3 $时, 如图所示:
∵$\angle B E G=\angle 1=m，$
∴$\angle B G E=\angle C G H=70°-m，$
∴$\angle F E G=180°-2 \angle 1=180°-2\ \mathrm {m}，$
$\angle E G H=180°-2 \angle B G E=180° -2 ×(70°-m)，$
∵$E F / / H K，$
∴$\angle F E G+\angle E G H+\angle G H K=360°$
则$ \angle G H K=140° ，$
则$ \angle G H C=20° ，$
由$ \triangle G C H $内角和, 得$ γ=90°+m .$
②当$ n=2 $时, 如果在$ B C $边反射后与$ E F $平行, 则$ α=90° ，$与题意不符;
则只能在$ C D $边反射后与$ E F $平行,如图所示:
根据三角形外角定义, 得$∠G=γ-60°，$
由$EF//HK，$且由$(1)$的结论可得，$∠G=γ-60°=90°，$则$γ=150°.$
综上所述：γ的度数为$90°+m$或$150°.$
