解：$(1)$设将绿地的长、宽增加$x\ \mathrm {m}，$则新的矩形绿地的长为$(35+x)m，$宽为$(15+x)m，$
根据题意得：$(35+x)(15+x)=800，$
整理得：$x^2+50x-275=0$
解得：$x_1=5，$$x_2=-55($不符合题意，舍去)，
$∴35+x=35+5=40，$$15+x=15+5=20.$
答：新的矩形绿地的长为$40m，$宽为$20m.$
