解:设运动时间为$ts，$显然$0≤t≤3.$
$(1)$过点$Q{作}QE⊥AB$于点$E，$过点$A$作$AF⊥CD$于点$F. $
$∵ AB//CD，$$∠C=90°，$$AF⊥CD，$$QE⊥AB，$
∴ 易得四边形$AFCB$和四边形$AFQE$都为矩形
$∵ CD=10\ \mathrm {cm}，$$AB=6\ \mathrm {cm}，$
$∴ CF=6\ \mathrm {cm}，$则$DF=4\ \mathrm {cm}.$
$∵ AD=5\ \mathrm {cm}，$
∴ 在$Rt△ADF $中，$AF= \sqrt{AD²-DF²} =3\ \mathrm {cm}，$
$∴ EQ=AF=3\ \mathrm {cm}. $
$∵ AP=2\ \mathrm {t}\ \mathrm {cm} ，$$CQ= t\ \mathrm {cm} ，$
$∴ PE=(6-3t)\ \mathrm {cm}{或}PE=(3t-6)\ \mathrm {cm}.$
在$Rt△PEQ $中，
$∵ PE²+EQ²=PQ²，$
$∴ (6-3t)²+3²=5²，$
解得$t_1= \frac {2}{3} ，$$t_2= \frac {10}{3} ($不合题意，舍去).
答:经过$ \frac {2}{3}\ \mathrm {s}，$点$P、$$Q$之间的距离为$5\ \mathrm {cm}$
$(2)$不存在,理由:
假设存在某一时刻，使得$PD$恰好平分$∠APQ，$
则$∠APD=∠DPQ.$
$∵ AB∥CD，$
$∴ ∠APD=∠PDQ，$
$∴ ∠PDQ=∠DPQ，$
$∴ DQ=PQ. $
$∵ PQ²=[3²+(6-3t)²]\ \mathrm {cm}²，$$DQ²=(10-t)²\ \mathrm {cm}²，$
$∴ 3²+(6-3t)²=(10-t)²，$
解得$t_1= \frac {4-3\sqrt{14}}{4} ，$$t_2= \frac {4+3\sqrt{14}}{4} $
$∵ 0≤t≤3，$
∴ 上述两解均不合题意，舍去，
∴ 不存在某一时刻，使得$PD$恰好平分$∠APQ.$
