解:设矩形两邻边的长分别为$x_1、$$x_2.$
由根与系数的关系，可知$x_1+x_2=k+1，$$x_1x_2= \frac {1}{4}\ \mathrm {k}²+1.$
由方程有两个根，可知$b²-4ac=[-(k+1)]²-4(\frac {1}{4}k²+1)=2k-3≥0，$
解得$k≥ \frac {3}{2} .$
又∵ 矩形的对角线的长为$ \sqrt{5} ，$
∴ 由勾股定理，得$x_1²+x_2²=( \sqrt{5} )²，$
即$(x_1+x_2)²-2x_1x_2=5，$
$∴ (k+1)²-2( \frac {1}{4}\ \mathrm {k}²+1)=5.$
整理,得$k²+4k-12=0，$
解得$k_1=2，$$k_2=-6($不合题意，舍去).
$∴ k$的值为$2$
