第45页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

50°

20°

$\sqrt{2}$

证明：$(1)$由圆周角定理得，$∠B=∠E，$又$∠B=∠D，$

$∴∠E=∠D，$

$∵CE∥AD，$

$∴∠D+∠ECD=180°，$

$∴∠E+∠ECD=180°，$

$∴AE∥CD，$

∴四边形$AECD$为平行四边形.

$(2)$作$OM⊥BC$于$M，$$ON⊥CE$于$N，$

∵四边形$AECD$为平行四边形，

$∴AD=CE，$又$AD=BC，$

$∴CE=CB，$

$∴OM=ON，$又$OM⊥BC，$$ON⊥CE，$

$∴CO$平分$∠BCE.$

解：$(1)$如图，设$AC、$$BD$交于点$E. $

$∵ AC⊥BD，$

$∴ ∠AED=90°$

$∵ BC//AD，$

$∴ ∠DBC，$$=∠ADB. $

$∵ \widehat{CD}=\widehat{CD}，$

$∴ ∠DBC=∠DAC，$

$∴ ∠ADB=∠DAC，$

∴ 在$Rt△AED$中，$∠ADB=∠DAC=45°. $

$∵ OA=OD，$

$∴ ∠OAD=∠ODA.$

∵ 在$△OAD$中，$∠AOD=120°，$

$∴ ∠OAD=30°，$

$∴ ∠CAO=∠DAC-∠OAD=15°$

$ (2)$如图，连接$OB、$$OC，$过点$O$作$OH⊥AD，$垂足为$H $

$∵ OA=OD，$$OH⊥AD，$

$∴ AH=\frac {1}{2}\ \mathrm {AD}= \frac {\sqrt{3}}{2} $

∵ 在$Rt△OHA$中，$∠OAH=30°，$

$∴ OH=\frac {1}{2}\ \mathrm {OA}.$

在$Rt△OHA$中，由勾股定理，得$OH²+AH²=OA²，$

$∴ ( \frac {1}{2}OA)²+( \frac {\sqrt{3}}{2})²=OA²，$

解得$OA=1($负值舍去) .

$∵\widehat{CD}=\widehat{CD}，$

$∴ ∠COD=2∠DAC=90。$°

同理，得$∠AOB=90°. $

$∵ ∠AOD=120°，$

$ ∴ ∠BOC=360°-90°-90°-120°=60°.$

$∵ OB=OC，$

$∴ △OBC$是等边三角形，

$ ∴ BC=OB. $

$∵ OB=OA=1，$

$∴ BC=1$